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2012-05-29

2012年中考数学压轴题

中考数学压轴题的解决策略 5z}Sc<~  
    抛物线是初中数学中很重要的一个知识点,也是学好高中数学的基础。不但如此,它更是一根轴,能够把初中数学很多重要的知识点带动起来。因此,近些年,在全国各地的中考试题中,抛物线经常作为重点题和压轴题,来全面考察学生的数学知识和学习潜力。因此,针对这种情况,我们都必须引起高度的重视,认识抛物线,攻克压轴题。 Xo#.mT{{  
一、    熟悉抛物线的性质 #GL.o4dq  
1.抛物线是轴对称图形。                            3b;0[z  
对称轴为直线x= - ,顶点坐标(-  ,  ) ,L9L3N'7w  
2.a、b、c的几何含义。 =XS7jQfQ+  
a的符号确定抛物线的开口方向,|a|的大小确定抛物线的开口程度;a与b的符号共同确定对称轴的位置;c的符号确定抛物线与y轴交点的位置。 ge{^<Fm  
3.抛物线与X轴的交点(一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况)。 ^ zB7s7O  
Δ= b2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。    I!>0G;|BM  
Δ= b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。    {%I=u{$=1  
Δ= b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。 lOm ID]|  
4.抛物线的增减性。 m=47#}sx  
当a>0时,在对称轴的左侧y随x的增大而减小,在x= - 处取得最小值f(- )= ,在对称轴的右侧y随x的增大而增大。 ^0!L2~?e8F  
当a<0时,在对称轴的左侧y随x的增大而增大,在x=- 处取得最大值f(- )= ,在对称轴的右侧y随x的增大而减小。 6VnO}1!?  
二、    了解抛物线解析式的求法 \}{TU_k  
1、已知三点坐标,选择一般式y=ax2+bx+c gbcntbc=  
已知抛物线过A(1,-4)、B(2,-3)、C(4,5),求其解析式 }JU6 K<  
分析:y=x2-2x-3 fpGp; 6p  
2、已知顶点坐标,选择顶点式 ud%`6-ty_  
已知抛物线y=ax2-2ax+b的最低点纵坐标是-9,且过点(-2,0) Tg23P?L+P  
分析:y=a(x-1)2-9过(-2,0) ∴a=1,即y=x2-2x-8 C S<C(1,h  
3、已知交点坐标,选择交点式 NlC/l.Liv  
已知抛物线过A(1,0)、B(3,0)、C(0,6),求其解析式 umA{4<t  
分析:y=a(x-1)(x-3)过(0,6) `)ej[r5  
∴a=2,即y=2x2-8x+6 ;oom^@  
点评:这种题型主要考察学生对抛物线基础知识的掌握程度,并能够用待定系数法灵活地求出抛物线的解析式。 HSQ;O;m  
三、    运用知识解决抛物线的综合问题 'lo"/e3  
1、    抛物线与面积 i~!;Ak#s  
如图,抛物线y=x2-2x-3与x轴交与A、B两点(A在B的左边),与y轴交与点C。P(4,5)在抛物线上。 OHgPBk/o  
(1)、求S△ABC; k# PaYU{  
分析:A(-1,0),B(3,0),C(0,-3) tLe*w?y  
S△ABC= ×4×3=6 gn.lPh5be  
(2)、第四象限的抛物线上是否存在点M,使S△MBC=3? N e\m$t-  
如图①,MD∥BC交x轴于点D, )h +DB$  
∴S△MBC=S△DBC=3 R+k|X+C  
∴D(5,0)  ∴ CB: y=x-3 ∴MD:y=x-5 /!Sv,z(  
∴  得 *x#$_T_(e  
(3)、第四象限的抛物线上是否存在点N,使S△NBC> ? =^eryii  
分析:如图②NE∥BC交x轴于E, EqT[bdCCm  
若S△NBC=S△EBC= PM-ZAMY  
则E( ,0)    ∴ CB: y=x-3 xM\&Dvx  
∴NE:y=x- UV :x:YGz  
∴    x2-3x+ =0    △=0 ZOk3YFf0!  
此时直线NE与抛物线仅一个公共点, 0Dq|.'m&_  
∴当S△NBC> 时,点N不存在. Uy;<hC ]  
(4)、抛物线上是否存在点Q,使S△PQA=S△PQB? kplR>dz  
分析:如图③ 3l.s\[-P  
(i)A、B位于PQ同侧时,Q(-2,5) % b?#EjTn  
(ii)A、B位于PQ异侧时,AG=BF,H(1,0) !FVOvCoVC_  
∴PQ:y= x- S >u`*<#E  
∴Q(- ,- ) C6k7t7EB"  
(5)、抛物线上是否存在点Q,使S△PQA=2S△PQB? CP3} jtv  
如图④ +i07:eCh  
(i)A、B位于PQ同侧时,AM=2BN vlYnQd4plZ  
∴ ,∴G(7,0),∴PQ:y= x+ , y:Tv4S^sC  
∴Q(- , ) ^DMsemLl+  
(ii)A、B们于PQ异侧时,AS=2BT,∴ , c"~ lZ  
∴H( ,0) jy,kMq-3]  
∴PS:y= x- ,∴Q2( ,- ) y@Z0  
点评:这种类型的题主要考察面积的转化方法、全等相似的运用、数形结合思想、解析法的思想、分类讨论思想。 Lj@_<P  
2、    抛物线与图形变换 xZN)  
①如图,已知抛物线C1:y=x2+bx+c交x轴与A(1,0),交y轴与B(0,2),顶点为D。将抛物线C1绕平面内某一点旋转 WN7;W  
180°得到抛物线C2,其顶点为E。若点D在C2上,点E在C1上。 nv0F 80  
(1)、求抛物线C1的解析式;y=x2-3x+2 |^s7 ~k|R  
(2)、若过A、B、E三点的圆的圆心在线段BE上,求抛物线C2的解析式。 5Uv8k=(b|  
(3)、在②的条件下,直线x=m(m>0)分别交抛物线C1 、C2与M、N,抛物线C2交y轴与H点,且BM=HN,求m值。 -#F5U4h  
分析:①待定字数法求得C1:y=x2-3x+2  D( ) S12 }%GD  
并求出旋转中心;y=—(x-5/2)2+3/4  (2,1/4) Y&__vU  
②过E点作EF⊥x轴于F,连AB、AE、BE,设E(m,n) jjk] `   
由题意知BA⊥EA oC B` /  
∴△BOA∽△AFE G%tmi  
∴ ,即 +{.;xU O  
∴E(m, )在C1:y=x2-3x+2图象上 D0R]LL4P  
∴m1= ,m2=1舍 M7CTx_:  
故C2:y=a( )2+ ,过D( ) tW^4CrHF  
∴a=-1 mk5a02=  
即C2:y=-( )2+ 6/ CUa>  
③分类讨论:(i)当四边形BMNH为平行四边形 Vx4IFdNH  
△BMG≌△HNQ 2$C{]Sw  
∴MG=NQ,即m2-3m=-m2+5m 2\}t%zR  
∴m1=4,m2=0舍 B@J!a[61  
          (ii)当四边形BMNH为等腰梯形时 \vtoM~+t!g  
  △BMW≌△HNJ :Q&?-v  
  ∴BW=HJ  即-m2+3m=-m2+5m sGEx=M%  
m=0舍 A?-mw$)8#  
②、(2011江西南昌)将抛物线C1:y=- x2+ 沿x轴翻折,得抛物线C2,如图所示. +c%<Uy)  
(1)请直接写出抛物线C2的表达式. @b1f} cO  
(2)现将抛物线C1向左平移m个单位长度,平移后得的新抛物线的顶点为M,与x轴的交点从左到右依次为A,B;将抛物线C2向右也平移m个单位长度,平移后得到的新抛物线的顶点为N,与x轴交点从左到右依次为D,E. `vE =xQ~  
①当B,D是线段AE的三等分点时,求m的值; .$Ue_0j  
②在平移过程中,是否存在以点A,N,E,M为顶点的四边形是矩形的情形?若存在,请求出此时m的值;若不存在,请说明理由. 30ZcYAVB  
x%;}!.RfI-  
h*$9z$]XM  
(10E)K  
HZBYx  
;SCt  
^HHsk 'i  
<M! iX;OU  
分析: (1)C2  y= x2- . {L;F  
(2)①令- x2+ =0,得x1=-1,x2=1,则抛物线C1与x轴的两个交点坐标为(-1,0),(1,0).∴A(-1-m,0),B(1+m,0). ZrB6\:6]  
当AD= AE时,  =;|>3c$  
如图①,(-1+m)-(-1-m)= [(1+m)-(-1-m)], ∴m= IK{/x Ao'  
当AB= AE时, J+~0pYm0  
如图②,(1-m)-(-1-m)= [(1+m)-(-1-m)], ;sI ^E  
∴m=2.∴当m= 或2时,B,D是线段AE的三等分点. iAAz <4  
②存在.理由: $$Z@,!;%  
依题意可得M,N关于原点O对称, ∴OM=ON. uq ff  
∵A(-1-m,0),E(1+m,0),∴OA=OE, f ~BPU'%t  
∴四边形ANEM为平行四边形. HBHy46'  
当OM=OA,即m2+( )2=[-(-1-m)]2,  m=1. pv!TT,c"I  
∴当m=1时,以点A,N,E,M为顶点的四边形是矩形. ]0WpALGEo/  
③、如图:抛物线C1:y= 顶点为M,与x轴负半轴交于点A,将抛物线C1沿X轴翻折,再向右平移2个单位得到抛物线C2顶点为N,与x轴正半轴交于点B,P为C1上一点,Q为C2上一点,是否存在点P、Q,使四边形PMQN为菱形?若存在,求P、Q坐标,若不存在,说明理由。 sM"H{WtW /  
分析:C2:y=- V9 54z0=w  
连结MN交x轴于E, TT0q ZoJA  
易证ME=NE    E(2,0) GiRX7f<9  
过E作直线PQ交C1于P,交C2于Q, s;{ g`V=B  
交y轴于F, Nhs#!Qp  
△MGE≌△EOF  ∴F(0,1) u (l<z8}  
∴PQ:y= Bv2&_;$^  
又C1:y=      ∴P1(-4,3)  P2( )  p&Xli  
C2:y=      ∴Q1(8,-3)  Q2( )  ^qXn MM  
计算验证MP2=MQ2 U-_^)P  
点评:将平移、轴对称与中心对称运用于二次函数的图象,是新课标中考对抛物线性质考察的一种新题型,主要考察学生对图形变换的认识、数形结合的思想、分类讨论的思想。 gtN}K1T9  
3、    抛物线与方程、不等式 Y2c#jpHbo  
1、(2011武汉中考).(本题满分12分)如图1,抛物线y=ax2+bx+3经过点A(-3,0),B(-1,0)两点, d8$2[  
(1)求抛物线的解析式; N^1^b^;  
(2)设抛物线的顶点为M,直线y=-2x+9与y轴交于点C,与直线OM交于点D,现将抛物线平移,保持顶点在直线OD上,若平移的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点,求它的顶点横坐标的值或取值范围; 4|qT)u!g  
(3)如图2,将抛物线平移,当顶点至原点时,过Q(0,3)作不平行于x轴的直线交抛物线于E、F两点,问在y轴的负半轴上是否存在一点P,使△PEF的内心在y轴上,若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由。 {0Fx$QyZv  
分析:(1)抛物线解析式为y=x2+4x+3 | &HG K  
    (2)抛物线的顶点M(-2,-1),直线OD的解析式为y= x. zQTM4TJl)  
  ∴平移后的抛物线解析式为y=(x-h) +  h VS@Fe .dwB  
①    当抛物线经过点C时,∵C(0,9)  得h= FEY~o=%  
∴当 ≤x< 时,平移的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点 Un_)9L'6  
②    当抛物线与直线CD只有一个公共点时,由方程组 !vvB:QhT  
得x +(-2h+2)x+ h +  h-9=0 ] +k>(15  
∴⊿=(-2h+2)  -4(h +  h-9)=0  解得h=4 NiUaL[+N  
此时抛物线y=(x-4) +2与射线CD只有唯一一个公共点为(3,3),符合题意综上所述,平移的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点时,顶点横坐标h的取值范围为h=4或 ≤x< H;jbA-j  
(3)设直线EF的解析式为y=kx+3(k≠0),点E、F的坐标分别为(m,m ),(n,n )由  得x -kx-3=0  ∴m+n=k  m•n=-3  UgF|Ci@y  
作点E关于y轴的对称点R(-m, m ),作直线FR交y轴于点P, nKLFKj}  
由对称性知∠EPQ=∠FPQ,此时△PEF的内心在y轴上  ∴点P即为所求的点。 L kgJo0TI  
由F,R的坐标可得直线FR的解析式为y=(n-m)x+mn记y=(n-m)x-3, q;rJhoH  
当x=0时,y=-3  ∴p(0,-3) fw;lnp D  
∴y轴的负半轴上存在点P(0,-3)使△PEF的内心在y轴上。 \\WZ{ )  
2、变式:点Q为y轴正半轴上一点,过Q作不平行于x轴的直线交抛物线于E、F两点,问是否存在一点Q,使△OEF的外心在EF上,若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由。 * fsg?sb  
分析:设EF:y=kx+b,E(x1,y1),F(x2,y2)依题意有EO⊥OF,∴tan∠1=tan∠2,即 ,∴x1x2=-y1y2又x2-kx-b=0, 88n2V\  
x1+x1=k, x1x2=-b,y1y2=(x1x2)2, _TJ#\5  
∴b1=0(舍)  b2=1, 即Q(0,1) D.FaS6^n  
点评:这种题型主要考察函数与方程(不等式)的思想、数形结合思想、重要概念(内心、外心)的运用、相似(三角函数)的运用、设而不求的思想以及韦达定理的运用。 ZOWl4yb   
%&W.>9S  
$uL\XJhAZ+  
[a><i,y".'  
练习: >udgTei\z  
1、(杭州市2012年中考数学模拟)如图,抛物线 与x轴交与A(1,0),B(- 3,0)两点, a`T`J$uMF  
  (1)求该抛物线的解析式;[来源:~@中^&教*网] %oVme  
(2)设(1)中的抛物线交y轴与C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由. U,%o  
(3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使△PBC的面积最大?,若存在,求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有,请说明理由. J B{^J  
F> x`K<  
VM_2kK!  
-Q$,Pv%F  
t)P/C9f   
vh$D8kP&un  
6]FJ6#2 ,  
[来源:*中#教&@网~] |2fqD,m  
cnjLOR%^D  
[来源:zzs*#~te^%p.com] quf:q-u :  
p5|R>  
2. (2012年,辽宁省营口市) (14分 )如图,已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2 与x轴交于点C,直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m),且与y轴、直线x=2分别交于点D、E. ~eekSchmxh  
(1)求m的值及该抛物线对应的函数关系式; ^T\p)( ?#  
(2)求证:① CB=CE ;② D是BE的中点; 9c1doYM1X  
(3)若P(x,y)是该抛物线上的一个动点,是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在,试求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.[中^国教#育出~版*&网] 1 m@( Qd)~  
}nB5i  
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