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中考数学压轴题的解决策略 5z}Sc<~
抛物线是初中数学中很重要的一个知识点，也是学好高中数学的基础。不但如此，它更是一根轴，能够把初中数学很多重要的知识点带动起来。因此，近些年，在全国各地的中考试题中，抛物线经常作为重点题和压轴题，来全面考察学生的数学知识和学习潜力。因此，针对这种情况，我们都必须引起高度的重视，认识抛物线，攻克压轴题。 Xo#.mT{{
一、 熟悉抛物线的性质 #GL.o4dq
1.抛物线是轴对称图形。 3b;0[z
对称轴为直线x= - ，顶点坐标(- ， ) ,L9L3N'7w
2.a、b、c的几何含义。 =XS7jQfQ+
a的符号确定抛物线的开口方向，|a|的大小确定抛物线的开口程度；a与b的符号共同确定对称轴的位置；c的符号确定抛物线与y轴交点的位置。 g e{^<Fm
3.抛物线与X轴的交点（一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况）。 ^ zB7s7O
Δ= b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。 I!>0G;|BM
Δ= b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 {%I=u{$=1
Δ= b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。 lOm ID]|
4.抛物线的增减性。 m=47 #}sx
当a>0时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在x= - 处取得最小值f(- )= ，在对称轴的右侧y随x的增大而增大。 ^0!L2~?e8F
当a＜0时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在x=- 处取得最大值f(- )= ，在对称轴的右侧y随x的增大而减小。 6VnO}1!?
二、 了解抛物线解析式的求法 \}{TU_k
1、已知三点坐标，选择一般式y=ax2+bx+c gbcntbc=
已知抛物线过A（1，-4）、B（2，-3）、C（4,5），求其解析式 }JU6 K<
分析：y=x2－2x－3 fpGp; 6p
2、已知顶点坐标，选择顶点式 ud%`6 -ty_
已知抛物线y=ax2-2ax+b的最低点纵坐标是-9，且过点（-2,0） Tg23P?L+P
分析：y=a(x－1)2－9过(－2,0) ∴a=1，即y=x2－2x－8 C
S<C(1 ,h
3、已知交点坐标，选择交点式 NlC/l. Liv
已知抛物线过A（1，0）、B（3，0）、C（0,6），求其解析式 umA{4<t
分析：y=a(x－1)(x－3)过（0，6） `)ej[r5
∴a=2，即y=2x2－8x+6 ;oom^@
点评：这种题型主要考察学生对抛物线基础知识的掌握程度，并能够用待定系数法灵活地求出抛物线的解析式。 HSQ;O;m
三、 运用知识解决抛物线的综合问题 'lo"/e3
1、 抛物线与面积 i~!;Ak#s
如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交与A、B两点(A在B的左边)，与y轴交与点C。P（4,5）在抛物线上。 OHgPBk/o
（1）、求S△ABC； k# PaYU{
分析：A（－1，0），B（3，0），C（0，－3） t Le*w?y
S△ABC= ×4×3=6 gn.lPh5be
（2）、第四象限的抛物线上是否存在点M,使S△MBC=3? N e\m$t-
如图①，MD∥BC交x轴于点D， )h + DB$
∴S△MBC=S△DBC=3 R +k|X+C
∴D（5，0） ∴ CB: y=x－3 ∴MD：y=x－5 /!Sv,z(
∴ 得 *x#$_T_(e
（3）、第四象限的抛物线上是否存在点N,使S△NBC＞ ? =^eryii
分析：如图②NE∥BC交x轴于E， EqT[bdCCm
若S△NBC=S△EBC= P M-ZAMY
则E（ ，0） ∴ CB: y=x－3 xM\&Dvx
∴NE：y=x－ UV :x:YGz
∴ x2－3x+ =0 △=0 ZOk3Y Ff0!
此时直线NE与抛物线仅一个公共点， 0Dq|.' m&_
∴当S△NBC＞ 时，点N不存在. Uy; <hC ]
（4）、抛物线上是否存在点Q,使S△PQA=S△PQB? k plR>dz
分析：如图③ 3l.s\[-P
（i）A、B位于PQ同侧时，Q（－2，5） % b?#EjTn
（ii）A、B位于PQ异侧时，AG=BF，H（1，0） !FVOvCoVC_
∴PQ：y= x－ S >u`*<#E
∴Q（－ ，－ ） C6k7 t7EB"
（5）、抛物线上是否存在点Q,使S△PQA=2S△PQB? CP3} jtv
如图④ +i 07:eCh
（i）A、B位于PQ同侧时，AM=2BN vlYnQd4plZ
∴ ，∴G（7，0），∴PQ：y= x+ ， y:Tv4S^sC
∴Q（－ ， ） ^DMsemLl+
（ii）A、B们于PQ异侧时，AS=2BT，∴ ， c"~ lZ
∴H（ ，0） jy,kMq-3]
∴PS：y= x－ ，∴Q2（ ，－ ） y@Z0
点评：这种类型的题主要考察面积的转化方法、全等相似的运用、数形结合思想、解析法的思想、分类讨论思想。 Lj@_<P
2、 抛物线与图形变换 xZN)
①如图，已知抛物线C1：y=x2+bx+c交x轴与A（1,0），交y轴与B（0,2），顶点为D。将抛物线C1绕平面内某一点旋转 WN7;W
180°得到抛物线C2，其顶点为E。若点D在C2上，点E在C1上。 nv0F
80
（1）、求抛物线C1的解析式；y=x2-3x+2 |^s7
~k|R
（2）、若过A、B、E三点的圆的圆心在线段BE上，求抛物线C2的解析式。 5Uv8k=(b|
（3）、在②的条件下，直线x=m（m＞0）分别交抛物线C1 、C2与M、N，抛物线C2交y轴与H点，且BM=HN，求m值。 -#F5U4h
分析：①待定字数法求得C1:y=x2－3x+2 D（ ） S12 }%GD
并求出旋转中心；y=—（x-5/2）2+3/4 （2，1/4） Y&__ vU
②过E点作EF⊥x轴于F，连AB、AE、BE，设E（m，n） jjk]
`
由题意知BA⊥EA oC B`
/
∴△BOA∽△AFE G%tmi
∴ ，即 + {. ;xU
O
∴E（m， ）在C1:y=x2－3x+2图象上 D0R]LL4P
∴m1= ，m2=1舍 M7CTx_:
故C2:y=a( )2+ ，过D（ ） tW^4CrHF
∴a=－1 mk 5a02=
即C2:y=－( )2+ 6/
CUa>
③分类讨论：（i）当四边形BMNH为平行四边形 Vx4IFdNH
△BMG≌△HNQ 2$C{]Sw
∴MG=NQ，即m2－3m=－m2+5m 2\}t%zR
∴m1=4，m2=0舍 B@J!a[61
（ii）当四边形BMNH为等腰梯形时 \vtoM~+t!g
△BMW≌△HNJ :Q&? -v
∴BW=HJ 即－m2+3m=－m2+5m sGEx=M %
m=0舍 A?-mw$)8#
②、（2011江西南昌）将抛物线C1：y=－ x2+ 沿x轴翻折，得抛物线C2,如图所示. +c%<Uy)
（1）请直接写出抛物线C2的表达式. @b1f} cO
（2）现将抛物线C1向左平移m个单位长度，平移后得的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E. `vE =xQ~
①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值； .$Ue_0j
②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由. 30ZcYAVB
x%;}!.RfI-
h*$9z$]XM
(1 0E)K
HZBYx
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^HHsk
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iX;OU
分析： (1)C2 y= x2－ . {L ;F
(2)①令－ x2+ =0，得x1=－1,x2=1,则抛物线C1与x轴的两个交点坐标为（－1，0），（1，0）.∴A（－1－m，0），B（1+m,0）. ZrB6\:6]
当AD= AE时, =;|>3c$
如图①，(－1+m)－(－1-m）= [(1+m)－(－1－m)], ∴m= IK{/x Ao'
当AB= AE时， J+~0pYm0
如图②，(1－m)－(－1－m）= [(1+m)-(-1-m)], ;sI ^E
∴m=2.∴当m= 或2时，B，D是线段AE的三等分点. iAAz <4
②存在.理由： $$Z@,!;%
依题意可得M，N关于原点O对称， ∴OM=ON. uq ff
∵A（－1－m，0），E（1+m，0），∴OA=OE， f ~BPU'%t
∴四边形ANEM为平行四边形. HBHy46'
当OM=OA，即m2+( )2=[－(－1－m)]2, m=1. pv!T T,c"I
∴当m=1时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形. ]0WpALGEo/
③、如图：抛物线C1:y= 顶点为M，与x轴负半轴交于点A，将抛物线C1沿X轴翻折，再向右平移2个单位得到抛物线C2顶点为N，与x轴正半轴交于点B，P为C1上一点，Q为C2上一点，是否存在点P、Q，使四边形PMQN为菱形？若存在，求P、Q坐标，若不存在，说明理由。 sM"H{WtW /
分析：C2:y=－ V9
54z0=w
连结MN交x轴于E， TT0q
Zo JA
易证ME=NE E（2，0） GiRX7f<9
过E作直线PQ交C1于P，交C2于Q， s;{
g`V=B
交y轴于F， Nhs#!Qp
△MGE≌△EOF ∴F（0，1） u
(l<z8}
∴PQ:y= Bv2&_;$^
又C1:y= ∴P1（－4，3） P2（ ） p&Xli
C2:y= ∴Q1（8，－3） Q2（ ） ^qXn MM
计算验证MP2=MQ2 U -_^)P
点评：将平移、轴对称与中心对称运用于二次函数的图象，是新课标中考对抛物线性质考察的一种新题型，主要考察学生对图形变换的认识、数形结合的思想、分类讨论的思想。 gtN}K1T9
3、 抛物线与方程、不等式 Y2c#jpHbo
1、（2011武汉中考）．（本题满分12分）如图1，抛物线y=ax2+bx+3经过点A(-3,0),B(-1,0)两点， d 8$2[
（1）求抛物线的解析式； N^ 1^b^;
（2）设抛物线的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D，现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上，若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围； 4|qT) u! g
（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0,3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E、F两点，问在y轴的负半轴上是否存在一点P,使△PEF的内心在y轴上，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。 {0Fx$QyZv
分析：（1）抛物线解析式为y=x2+4x+3 | &HG
K
（2）抛物线的顶点M(-2，-1),直线OD的解析式为y= x. zQTM4TJl)
∴平移后的抛物线解析式为y=(x-h) + h VS@Fe .dwB
① 当抛物线经过点C时，∵C(0,9) 得h= FEY ~ o=%
∴当 ≤x< 时，平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点 Un_)9L'6
② 当抛物线与直线CD只有一个公共点时，由方程组 !vvB:QhT
得x +(-2h+2)x+ h + h-9=0 ] +k>(15
∴⊿=（-2h+2) -4（h + h-9）=0 解得h=4 NiUaL[+N
此时抛物线y=(x-4) +2与射线CD只有唯一一个公共点为（3,3），符合题意综上所述，平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点时，顶点横坐标h的取值范围为h=4或 ≤x< H;jbA-j
(3)设直线EF的解析式为y=kx+3(k≠0),点E、F的坐标分别为（m,m ）,(n,n )由 得x -kx-3=0 ∴m+n=k m•n=-3 UgF|Ci@y
作点E关于y轴的对称点R(-m, m ）,作直线FR交y轴于点P， n KLFK j}
由对称性知∠EPQ=∠FPQ,此时△PEF的内心在y轴上 ∴点P即为所求的点。 L kgJo0TI
由F,R的坐标可得直线FR的解析式为y=(n-m)x+mn记y=(n-m)x-3， q;rJhoH
当x=0时，y=-3 ∴p(0,-3) fw;lnp
D
∴y轴的负半轴上存在点P(0，-3)使△PEF的内心在y轴上。 \\WZ{ )
2、变式：点Q为y轴正半轴上一点，过Q作不平行于x轴的直线交抛物线于E、F两点，问是否存在一点Q，使△OEF的外心在EF上，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。 * fsg?sb
分析：设EF:y=kx+b，E（x1，y1），F（x2，y2）依题意有EO⊥OF，∴tan∠1=tan∠2，即 ，∴x1x2=－y1y2又x2－kx－b=0， 88 n2V\
x1+x1=k, x1x2=－b,y1y2=(x1x2)2， _TJ#\5
∴b1=0（舍） b2=1， 即Q(0,1) D.FaS6^n
点评：这种题型主要考察函数与方程（不等式）的思想、数形结合思想、重要概念（内心、外心）的运用、相似（三角函数）的运用、设而不求的思想以及韦达定理的运用。 ZOWl4yb
%&W .>9S
$uL\XJhAZ+
[a><i,y".'
练习： >udgTei\z
1、（杭州市2012年中考数学模拟）如图，抛物线 与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点， a`T`J$uMF
（1）求该抛物线的解析式；[来源:~@中^&教*网] % oVme
（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. U,%o
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由. J B{ ^J
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t)P/C9 f
vh$D8kP&un
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[来源:*中#教&@网~] |2fqD,m
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[来源:zzs*#~te^%p.com] quf:q-u :
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2. (2012年，辽宁省营口市) (14分 )如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2 与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m)，且与y轴、直线x=2分别交于点D、E. ~eekSchmxh
（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式； ^T\p)( ?#
（2）求证：① CB=CE ；② D是BE的中点； 9c1doYM 1X
（3）若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.[中^国教#育出~版*&网] 1 m@(
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